《钟表问题》

一、核心基础知识

钟表问题本质上是行程问题中的环形追及问题。我们将表盘看作跑道，分针和时针看作两个速度不同的赛跑者。

1. 表盘常识

整个表盘为圆周，共 $360^\circ$。
表盘分为 12 个大格（小时格），每个大格为 $360^\circ \div 12 = 30^\circ$。
表盘分为 60 个小格（分钟格），每个小格为 $360^\circ \div 60 = 6^\circ$。

2. 指针速度（角速度）

这是解决所有钟表问题的关键数据，必须熟记：

分针： 每分钟走 1 小格，即转动 $6^\circ$/分。
时针： 每小时走 1 大格（$30^\circ$），每分钟走 $\frac{30}{60}$ 大格，即转动 $0.5^\circ$/分。

3. 速度差（追及速度）

分针总是比时针跑得快，它们之间的“距离”（角度差）是以相对速度在变化的：

速度差 = 分针速度 - 时针速度 = $6 - 0.5 = 5.5^\circ$/分。
口诀：分针快，时针慢，每分多走 5.5 度。

二、典型题型解析

题型一：已知时刻，求夹角

解题思路：
我们可以以 12 点整（$0^\circ$）为起跑线，分别计算出时针和分针转过的总角度，然后相减取绝对值。

通用公式：
设时间为 $m$ 点 $n$ 分，时针和分针的夹角为 $\theta$：
$$ \theta = |30m - 5.5n| $$
(注：如果计算结果大于 $180^\circ$，则取劣角，即用 $360^\circ$ 减去该结果)

例题讲解：
问题： 求 3:10 时，时针与分针的夹角是多少度？

常规法（分别计算）：
- 分针走了 10 分钟：$6^\circ \times 10 = 60^\circ$。
- 时针走了 3 小时 10 分钟：
  - 整点位置：$3 \times 30^\circ = 90^\circ$
  - 10分钟走的微小位移：$10 \times 0.5^\circ = 5^\circ$
  - 时针总角度：$90^\circ + 5^\circ = 95^\circ$
- 夹角： $|95^\circ - 60^\circ| = 35^\circ$。
公式法：
- $|30 \times 3 - 5.5 \times 10| = |90 - 55| = 35^\circ$。

题型二：已知夹角（或位置关系），求时间

解题思路：
这类问题属于**“追及问题”**。通常已知起始时刻的“路程差”（角度差），求经过多少时间分针能追上或达到指定角度差。

基本公式：
$$ \text{路程差} = \text{速度差} \times \text{时间} $$
$$ \text{变化的角度} = 5.5 \times t $$

场景 A：特殊位置关系（重合、垂直、成一直线）

例题讲解：
问题： 上午 9 点时分针与时针互相垂直，再经过多少分钟后分针与时针第一次成一条直线？

第一步：画图分析起始状态
- 9:00 整，时针在 9，分针在 12。
- 此时，分针落后时针 $90^\circ$（或者说需要追击 $270^\circ$ 才能重合，但这里问的是成直线）。
- 更简单的理解：9点时夹角是 $90^\circ$。
第二步：确定目标状态
- “成一条直线”意味着时针和分针夹角为 $180^\circ$。
- 9点之后，分针走得快，会先从 $90^\circ$ 追到 $0^\circ$（重合），再拉开到 $180^\circ$。
- 但题目问的是“第一次成直线”。在9点多，分针只要追过时针，并把原本的 $90^\circ$ 夹角扩大到 $180^\circ$ 吗？
- 不，9点时分针在12（0度），时针在9（270度）。分针要成直线，需跑到时针的对面。
- 让我们用相对距离来看：
  - 9:00 夹角 $90^\circ$。
  - 目标：夹角 $180^\circ$。
  - 分针需要比时针多走：$90^\circ$（从垂直变成重合）+ $0^\circ$（这里不对）…
  - 正确逻辑（参考手写笔记）：
    - 起始：9点整，夹角 $90^\circ$。
    - 结束：成平角，夹角 $180^\circ$。
    - 分针需要“追及”的角度差变化量 = $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。（这是因为9点时它们正好垂直，下一次成直线就是分针多转 $90^\circ$ 变成平角，即 9:16分左右）。
第三步：列方程求解
- 设经过 $x$ 分钟。
- 方程：$5.5x = 90$ （注：这是基于从垂直变为平角的增量）
- 解得：$x = \frac{90}{5.5} = \frac{180}{11}$ 分钟。
- 即 $16 \frac{4}{11}$ 分钟。

场景 B：对称性问题（两次夹角相同）

例题讲解：
问题： 某同学晚上 6 点多钟开始做作业，家墙上时钟的时针和分针夹角是 $120^\circ$，他做完作业后还是 6 点多钟，且时针和分针的夹角还是 $120^\circ$。此同学做作业用了多少时间？

第一步：画图分析
- 开始时： 6点多，分针在时针后面（未追上），夹角 $120^\circ$。
- 结束时： 6点多，分针在时针前面（已超过），夹角 $120^\circ$。
第二步：确定路程差
- 整个过程分针比时针多走了：$120^\circ$（追上前的差距）+ $120^\circ$（拉开后的差距）。
- 总路程差 = $240^\circ$。
第三步：列方程
- 设经过了 $x$ 分钟。
- $\text{路程差} = \text{速度差} \times \text{时间}$
- $240 = 5.5x$
- $x = \frac{240}{5.5} = \frac{480}{11}$
- 答案： 做作业用了 $\frac{480}{11}$ 分钟（约 $43 \frac{7}{11}$ 分）。

三、课后实战演练

练习 1（基础计算）：
3 点 43 分时，时针与分针所夹的角是多少度？
(提示：使用公式 $|30m - 5.5n|$ 计算，注意 $m=3, n=43$)

练习 2（追及问题）：
2 点钟以后，什么时刻分针与时针第一次重合？
(提示：2点整时，分针落后时针 $60^\circ$，要重合需要追回这 $60^\circ$)

练习 3（进阶挑战）：
小明看钟表时发现是 4 点多，且时针和分针呈反向一直线（$180^\circ$）。请问此时确切时间是多少？
(提示：4点整时夹角 $120^\circ$，分针在后。要成直线 $180^\circ$，分针不仅要追上 $120^\circ$ 重合，还要再超前 $180^\circ$，总共要追多少度？)

答案解析

练习 1：
- $|30 \times 3 - 5.5 \times 43| = |90 - 236.5| = |-146.5| = 146.5^\circ$。
练习 2：
- 路程差 $60^\circ$。
- $5.5x = 60 \Rightarrow x = 120/11 = 10 \frac{10}{11}$ 分。即 2 点 $10 \frac{10}{11}$ 分。
练习 3：
- 4点整，时针领先分针 $120^\circ$。
- 目标是分针领先时针 $180^\circ$（或者理解为相对位移差）。
- 实际分针需要追及的角度 = $120^\circ$ (先追上) + $180^\circ$ (再拉开) = $300^\circ$。
- $5.5x = 300 \Rightarrow x = 600/11 = 54 \frac{6}{11}$ 分。即 4 点 $54 \frac{6}{11}$ 分。