参数估计

我们把书本上的条条框框先拆掉，按照**“管理决策的逻辑流”，从头到尾把推断统计（参数估计）**这一章重新构建一遍。

我们要解决的核心问题只有一个：上帝视角的真理（总体参数）我看不到，我手里只有一小撮数据（样本统计量），我该怎么向老板汇报？

整个推断统计的体系，其实就只有三步走。

第一步：点估计 —— 给老板一个“最靠谱的猜测”

1. 需求场景
老板问：“我们要在这个城市开分店，这里的人平均月薪（$\mu$）是多少？”
你肯定不能把全城几百万人都调查一遍（成本太高）。你只随机调查了100个人（$n=100$）。

2. 解决方案
你算了一下这100个人的平均工资是 8000元（$\bar{x}=8000$）。
于是你跟老板说：“老板，我觉得全市平均工资大概就是 8000。”

这就是点估计：直接把样本的指标（$\bar{x}$），当成总体的指标（$\mu$）。

3. 这里的逻辑（为什么敢这么干？）
因为我们相信数学上的三个原则：

无偏性：虽然这次可能高了或低了，但在理论上，$\bar{x}$ 的期望就是 $\mu$。
有效性：$\bar{x}$ 的波动比其他瞎猜的方法小。
一致性：样本越多越准。

4. 痛点
老板不傻，他会问：“准吗？ 刚好8000？不可能吧？是7999还是8001？”
点估计最大的缺点是：它没告诉你误差有多大，命中率几乎为0（因为连续数据要在数轴上精准命中某一点，概率为0）。

第二步：区间估计 —— 给猜测加一个“安全气囊”

1. 需求升级
为了严谨，你不能只给一个数。你要给一个范围，并且告诉老板这个范围有多可信。

2. 解决方案逻辑（核心公式的诞生）
我们在以前学过“标准分数（Z分数）”，对吧？
$$ Z = \frac{\text{某个数} - \text{均值}}{\text{标准差}} $$

在推断统计里，核心逻辑就是把这个公式变个形：

前提（中心极限定理）：统计学家告诉我们，不管总体长什么样，只要样本量够大，样本均值 $\bar{x}$ 的分布就会服从正态分布。
公式推导（不用背，看一眼就懂）：
$$ Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} $$
我们现在的目标是求 $\mu$（总体均值）。我们把公式变换一下，把 $\mu$ 留在左边：
$$ \mu = \bar{x} \pm Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

3. 那个著名的公式就出来了：
$$ \text{置信区间} = \text{点估计} \pm (\text{可靠系数} \times \text{标准误}) $$

点估计：$\bar{x}$（你的观测值，比如8000）。
标准误：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$（样本均值的标准差）。
- 注意：这里为什么要除以 $\sqrt{n}$？ 因为平均值比单个数据更稳定。样本越多（n越大），平均值波动越小，估得越准。
可靠系数：$Z$ 或 $t$（这就用到了三大分布！）。

第三步：量化风险 —— 搞懂“置信水平”与“显著性水平”

这一步是为了确定公式里的那个 $Z$（可靠系数）到底取多少。

1. 置信水平 (Confidence Level, $1-\alpha$)

人话：你希望你的这一网下去，有多大把握能捞到真理？
最常用的标准：95% ($0.95$)。
对应的 Z 值：查表可得，95% 对应的是 1.96。
- 意思是：$\bar{x}$ 往左往右各偏 1.96 个标准误差，就能覆盖住 95% 的可能性。

2. 显著性水平 (Significance Level, $\alpha$)

人话：你容忍的犯错概率是多少？
如果置信水平是 95%，那犯错概率 $\alpha = 5%$ ($0.05$)。
这就是“显著性水平”。

3. 这一步的产出
你跟老板汇报：“老板，我有 95% 的把握（置信水平），全市平均工资在 7800 到 8200 之间（置信区间）。”
潜台词：我也承认有 5% 的可能（显著性水平），这个结论是错的，真实工资其实是 20000 或者 2000，但我尽力了。

第四步：实战工具箱 —— 到底该用 Z，t，还是 $\chi^2$？

到了考试或实际应用，最难的是选公式。我们把三大分布也就是在这里派上用场的。

场景 A：估算平均值 (比如：平均工资、平均寿命)

这是最常见的。公式模型：$\bar{x} \pm \text{系数} \times \text{标准误}$

如果你知道总体的标准差 $\sigma$（上帝视角）：
- 用 Z 分布。
- 系数查 Z 表（比如 1.96）。
如果你不知道 $\sigma$，只有样本标准差 $S$（现实情况通常如此）：
- 大样本 ($n \ge 30$)：虽然理论上用 t，但 t 分布在大样本下和 Z 几乎一样，所以也可以用 Z。
- 小样本 ($n < 30$)：必须用 t 分布。
- 为什么要用 t？ 因为 $S$ 不准，我们需要把区间拉宽一点来容错，t 分布的尾巴更厚，算出来的区间会比 Z 宽一点，更保守。

场景 B：估算比例 (比如：支持率、次品率)

比如：调查某产品的次品率 $p$。
用 Z 分布。
公式：$p \pm Z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

场景 C：估算方差/波动 (比如：机器精度的稳定性)

老板问：“这个机器生产零件的误差范围（方差 $\sigma^2$）是多少？”
这里不能用 Z 或 t 了，因为方差是平方数，不能是负的。
用 $\chi^2$ 分布 (卡方分布)。
逻辑：构造一个基于平方和的区间。

场景 D：比较两个总体的方差 (比如：机器A和机器B谁更稳？)

用 F 分布。
逻辑：看 $\frac{S_A^2}{S_B^2}$ 这个比值是不是接近 1。

总结：推断统计的思维导图

复习的时候，按这个顺序思考，就不会乱：

目的：用样本估总体。
方法：先点估计（给个基准数），再区间估计（给个范围）。
构造区间：
$$ \text{结果} = \text{点估计} \pm \text{系数} \times \text{标准误} $$
确定系数（找分布）：
- 你要算平均值吗？
  - 知道 $\sigma$ 吗？ $\to$ Z
  - 不知道 $\sigma$ 且样本小？ $\to$ t
- 你要算**波动（方差）**吗？ $\to$ $\chi^2$
- 你要比波动吗？ $\to$ F
确定范围：
- 看置信水平 ($1-\alpha$)，通常是 95%。

这就是推断统计的完整逻辑闭环。所有的公式变化，都是在这个框架里换不同的零件而已。现在对这三大分布的“分工”是不是清晰点了？

统计学最忌讳的就是“死记公式”。如果你只背公式，考试时只要题目换个马甲（比如把“灯泡寿命”换成“电池续航”），你立刻就懵了。

要摆脱“套公式”的感觉，我们需要建立**“诊断思维”**。就像医生看病一样，先看症状，再开药方（选公式）。

我们来解剖它们，看看在拿到题目的一瞬间，大脑是如何判断该用哪个公式的。

第一局：这是“上帝视角”还是“凡人视角”？（Z vs t）

请看两个例题。它们看起来都是求“平均值的置信区间”，但解法完全不同。

案例 A：袋装食品重量

题目核心信息：

抽取 $n=25$ 袋。

已知“总体标准差为 10克”。

求 95% 置信区间。

诊断过程（大脑独白）：
- Step 1：我要估什么？ $\to$ 平均重量（总体均值 $\mu$）。
- Step 2：我看得到上帝视角的真理吗？ $\to$ 题目说了“总体标准差为10”。
- Step 3：判决！ 既然知道了总体标准差（$\sigma$），这就是上帝视角。不管样本量是多是少（虽然25<30），只要 $\sigma$ 已知，直接用最完美的 Z分布。
开药方（公式）：
$$ \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
- $\sigma = 10$（直接代入，不用算样本方差）。

案例 B：灯泡使用寿命

题目核心信息：

抽取 $n=16$ 个灯泡。

数据列了一堆（1510, 1450…），没提总体标准差。

求 95% 置信区间。

诊断过程（大脑独白）：
- Step 1：我要估什么？ $\to$ 平均寿命（总体均值 $\mu$）。
- Step 2：我看得到上帝视角的真理吗？ $\to$ 题目没给 $\sigma$。我手里只有这16个烂数据。
- Step 3：样本够大吗？ $\to$ $n=16$，小于30，属于小样本。
- Step 4：判决！ 没有上帝视角（$\sigma$未知），样本又少（穷），只能用宽容度更高的 t分布。
开药方（公式）：
$$ \bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} $$
- 注意点：这里公式里是 $s$（样本标准差），你需要按计算器先算出这16个数的标准差 $s=24.77$。
- 查表：查的是 $t$ 表，自由度是 $16-1=15$。

💡 总结：

看到“总体标准差” $\to$ Z (不管n大小)

没看到“总体”，且 $n<30$ $\to$ t

没看到“总体”，但 $n>30$ $\to$ Z (因为大样本下 t 和 Z 差不多，大部分教材允许用 Z)

第二局：两个世界怎么比？（双样本均值之差）

这是考试中最复杂的公式（看起来很吓人），但逻辑很简单。

案例 C：两个学校的分数差异

场景：你想知道A校和B校的学生，平均分差多少？

A校抽46人，均分86，方差$S_1$。

B校抽33人，均分78，方差$S_2$。

诊断过程（大脑独白）：
- Step 1：目标是什么？ $\to$ 找差距 ($\mu_1 - \mu_2$)。
- Step 2：样本是独立的吗？ $\to$ 是的，A校学生和B校学生没关系（如果是同一个学生补课前后的成绩，那就是“配对样本”，公式不一样，但这里是独立）。
- Step 3：方差（波动）一样吗？ $\to$
  - 情况1（图4公式下半部分 $S_p^2$）：如果我们假设两个学校虽然平均分不同，但学生水平参差不齐的程度（方差）是一样的（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$）。
  - 判决：既然方差一样，那不如把两组数据倒进一个大池子里算一个“混合方差”（Pooled Variance, $S_p^2$）。这样算得更准。
  - 情况2（图4公式上半部分 $v$）：如果A校是普通中学（分化大），B校是精英中学（都很强，分化小），方差明显不同（$\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$）。
  - 判决：不能混合，必须用那个超级复杂的自由度公式（Satterthwaite近似）。
考试技巧：
- 通常题目会告诉你“假设两总体方差相等”。看到这句话，马上反应：用混合方差 $S_p^2$ 的 t 检验公式。就是笔记里写着 $n_1+n_2-2$ 自由度的那个。

第三局：老板要多准？（样本量的确定）

这通常是填空题或第一道大题。

案例 D：倒推人数

题目：要做市场调查，要求误差不超过 400元 ($E=400$)，标准差约为 2000元 ($\sigma=2000$)，置信水平 95% ($Z=1.96$)。问要抽多少人？

逻辑（不是背公式，是解方程）：
我们知道误差公式是：
$$ E = Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
老板限定了 $E$，让你求 $n$。直接移项：
$$ \sqrt{n} = \frac{Z \times \sigma}{E} \implies n = \frac{Z^2 \sigma^2}{E^2} $$
必须要懂的“坑”：进位取整
- 你看笔记里算出来 $n = 96.04$。
- 能取 96 吗？ 哪怕是 96.0001，也要取 97。
- 为什么？ 因为样本越多，误差越小。如果是 96人，误差刚好比 400 稍微大了一丢丢（比如 400.1元），就不符合老板要求了。所以必须向上取整。

🔥 模拟实战：现在轮到你了

我不给答案，你根据上面的逻辑，判断下面三个场景该用什么公式？（告诉我用 Z 还是 t，还是其他？）

练习 1：大选预测

某报社想预测A候选人的支持率。随机采访了 1000 位市民 ($n=1000$)，其中 550 人支持。请构建 95% 的置信区间。

你的诊断：这是求均值还是比例？样本量大吗？用什么分布？

练习 2：新药测试

研发了一款新止痛药。在 10 名志愿者身上测试药效持续时间 ($n=10$)。算得样本标准差为 1.5小时。假设药效服从正态分布。求平均药效的 95% 置信区间。

你的诊断：知道总体标准差吗？样本量如何？用什么分布？

练习 3：精密仪器

工厂新进一台机器，要求其生产零件的直径波动（方差）不能太大。抽取 20 个零件，想估算这台机器的方差置信区间。

你的诊断：研究目标是均值还是方差？用 Z, t, F 还是 $\chi^2$？

参数估计（Parameter Estimation）主要考两类：

点估计：用样本均值直接代表总体均值（很简单，通常是送分）。
区间估计：给定置信水平（比如 95%），算出一个范围（置信区间）。

这也是考试的重点。我为你准备了三道最有代表性的题目：

题目一：求总体均值的区间（未知 $\sigma$，由样本 $s$ 代替，考 $t$ 分布）。
题目二：求总体比例的区间（比如支持率、合格率，考 $Z$ 分布）。
题目三：概念理解题（很多人的盲区）。

【题目一】总体均值的区间估计（$\sigma$ 未知）

场景：某汽车厂为了测试一种新车型的耗油量，随机选取了 16 辆 汽车进行测试。测得每百公里耗油量的平均值为 8.5 升，样本标准差为 0.8 升。
假设耗油量服从正态分布。

已知：

$t_{0.025}(15) = 2.131$ （对应 95% 置信度）
$t_{0.025}(16) = 2.120$

问题：
请构建该车型每百公里平均耗油量的 95% 置信区间。
(请写出计算公式和步骤)

【题目二】总体比例的区间估计（大样本）

场景：一家手机厂商想调查用户对其新系统的满意度。他们随机抽查了 400 名 用户，其中有 320 名 用户表示“满意”。

已知：

$Z_{0.025} = 1.96$ （对应 95% 置信度）

问题：

用户满意度的点估计值是多少？
请构建全市用户满意度的 95% 置信区间。

【题目三】概念陷阱题（判断题）

场景：关于“95% 置信区间”，以下哪种说法是正确的？（这是考研和期末考最爱挖的坑）

A. 总体均值 $\mu$ 有 95% 的概率落在这个区间内。
B. 如果我们做 100 次抽样，算出 100 个置信区间，大约有 95 个区间会包含真实的总体均值。
C. 这个区间包含了 95% 的样本数据。

🛑 拿出纸笔算一下再看答案！

（提示：区间估计的核心公式就是 “均值 $\pm$ 误差系数 $\times$ 标准误”）

.
.
.
.
.
.
.
.
.

【答案解析】

题目一解析（均值区间）

这是最标准的考试题型：小样本、方差未知 $\rightarrow$ 使用 $t$ 分布。

提取信息：
- 样本均值 $\bar{x} = 8.5$
- 样本标准差 $s = 0.8$
- 样本量 $n = 16$ （所以自由度 $df = n-1 = 15$）
- 查表系数：题目给了，用 $t_{0.025}(15) = 2.131$
公式：
$$ \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}} $$
计算：
- 标准误 (Standard Error) = $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.8}{\sqrt{16}} = \frac{0.8}{4} = 0.2$
- 边际误差 (Margin of Error) = $t \times \text{标准误} = 2.131 \times 0.2 = 0.4262$
- 下限 = $8.5 - 0.4262 = 8.0738$
- 上限 = $8.5 + 0.4262 = 8.9262$
结论：
95% 置信区间为 [8.07, 8.93]（保留两位小数）。

题目二解析（比例区间）

这是大样本比例估计 $\rightarrow$ 使用 $Z$ 分布。

点估计：
- 样本比例 $p = \frac{320}{400} = 0.8$ （即 80%）
区间估计公式：
$$ p \pm Z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $$
计算：
- 标准误 = $\sqrt{\frac{0.8 \times 0.2}{400}} = \sqrt{\frac{0.16}{400}} = \sqrt{0.0004} = 0.02$
- 边际误差 = $1.96 \times 0.02 = 0.0392$ （也就是 3.92%）
- 下限 = $0.8 - 0.0392 = 0.7608$
- 上限 = $0.8 + 0.0392 = 0.8392$
结论：
95% 置信区间为 [76.08%, 83.92%]。

题目三解析（概念理解）

正确答案是 B。

A 是错的（经典陷阱）：
总体均值 $\mu$ 是一个固定的数（虽然我们不知道是多少，比如上帝知道它就是 8.5），它要么在区间里，要么不在。它不是随机变量，没有“跑来跑去”的概率。
- 比喻：你在这个房间里（真值），我扔一个圈（区间）去套你。一旦圈扔出去了（区间算出来了），你在里面就在里面，不在就不在，没有概率可言。
B 是对的：
95% 指的是方法的可靠性。如果我们反复做这个实验，扔 100 次圈，有 95 次能套中你。
C 是错的：
置信区间估计的是参数（均值），而不是包含样本数据。

总结：参数估计解题三部曲

看类型：是求“平均值”还是求“百分比”？
找公式：
- 平均值用 $\frac{s}{\sqrt{n}}$。如果是小样本($n<30$)查 t表，大样本查 Z表。
- 百分比用 $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$，查 Z表。
套公式：点估计 $\pm$ 系数 $\times$ 标准误。

这份模拟卷二完全按照你的新要求调整了：

计算题：改为方差分析表填空（单因素+双因素），这是考察公式逻辑最直接的方式，也是考试高频题型。
材料题：SPSS输出表格全部换成中文版。

请计时90分钟。

管理统计学期末模拟考试（卷二）

重点突破：方差分析表逻辑 & 中文SPSS解读

一、单项选择题（每题1.5分，共18题，27分）

如果在假设检验中，我们要检验“某产品的次品率是否低于2%”，原假设$H_0$和备择假设$H_1$应设立为：
A. $H_0: \pi < 0.02, H_1: \pi \ge 0.02$
B. $H_0: \pi \ge 0.02, H_1: \pi < 0.02$
C. $H_0: \pi = 0.02, H_1: \pi \ne 0.02$
D. $H_0: \pi \le 0.02, H_1: \pi > 0.02$
方差分析（ANOVA）中，$F$统计量的定义是：
A. 组间均方 / 组内均方 ($MSA / MSE$)
B. 组内均方 / 组间均方 ($MSE / MSA$)
C. 组间平方和 / 组内平方和 ($SSA / SSE$)
D. 组内平方和 / 组间平方和 ($SSE / SSA$)
老师上课强调，样本均值的标准误差（Standard Error of Mean）等于：
A. 总体标准差 $\sigma$
B. 样本方差 $S^2$
C. 样本标准差 $S$ 除以样本量的平方根 ($\frac{S}{\sqrt{n}}$)
D. 样本均值 $\bar{x}$
下列哪种情况适合使用双因素方差分析？
A. 研究“性别”对“身高”的影响
B. 研究“广告费用”对“销售额”的线性关系
C. 研究“性别”和“学历”两个变量对“工资”的共同影响
D. 研究“城市”和“农村”的人口比例差异
在SPSS输出的中文表格中，“显著性”一栏显示的数值通常指的是：
A. $\alpha$ (Alpha)
B. $P$值 (P-value)
C. $F$值
D. 自由度 ($df$)
如果一个研究中，我们想证明两个分类变量（如“星座”和“性格类型”）是不独立的，应该看卡方检验的P值。如果 $P < 0.05$，说明：
A. 两个变量相互独立，没关系
B. 两个变量之间存在显著的关联
C. 两个变量是正态分布的
D. 无法得出结论
关于第一类错误（$\alpha$），下列描述最准确的是：
A. 实际上没有区别，但你误以为有区别（拒绝了正确的原假设）
B. 实际上有区别，但你没发现（接受了错误的原假设）
C. 这是一个系统性误差，无法避免
D. 也就是1减去置信水平
数据“年级（大一/大二/大三/大四）”属于什么类型的数据？
A. 定类数据 (Nominal) - 无顺序
B. 定序数据 (Ordinal) - 有顺序
C. 间隔数据 (Interval)
D. 比率数据 (Ratio)
在单因素方差分析中，如果一共有4个组，每组有10个样本，那么组间自由度和组内自由度分别是：
A. 4, 10
B. 3, 40
C. 3, 36
D. 4, 36
“中心极限定理”告诉我们，当样本量 $n$ 足够大（通常 $n \ge 30$）时：
A. 总体分布一定是正态的
B. 样本均值的抽样分布近似服从正态分布
C. 样本方差等于总体方差
D. 任何统计检验都不需要了
老师提到“维度”类似ER图的属性。如果一张表记录了：学号、姓名、性别、高数分、英语分、体育分。这属于：
A. 1维数据
B. 2维数据
C. 低维度数据
D. 高维度数据（多维）
下列关于相关系数 $r$ 的说法，错误的是：
A. $r$ 的取值范围是 -1 到 +1
B. $r=0$ 表示两个变量完全没有关系（包括非线性关系）
C. $r > 0$ 表示正相关
D. $r$ 越接近1或-1，线性相关程度越强
在假设检验中，如果我们想提高检验的可靠性，降低犯第一类错误的概率，我们应该：
A. 调大显著性水平 $\alpha$（如从0.01调到0.05）
B. 调小显著性水平 $\alpha$（如从0.05调到0.01）
C. 减少样本量
D. 不做任何改变
时间序列预测在老师课上提到的主要应用场景是：
A. 医疗诊断
B. 历史文献分析
C. 金融领域（如股票、期货预测）
D. 心理咨询
观察法与实验法最本质的区别在于：
A. 样本量的大小
B. 是否使用了计算机
C. 是否有人为的干预（控制变量）
D. 数据的准确性
已知某次检验的 $P$ 值为 0.08，显著性水平 $\alpha=0.05$，结论是：
A. 拒绝原假设，差异显著
B. 不拒绝原假设，差异不显著
C. 接受备择假设
D. 实验失败
在方差分析中，如果数据不满足方差齐性（Levene检验 $P < 0.05$），严格来说：
A. 不能直接进行标准的方差分析，需要用其他方法或校正
B. 依然可以照常进行，结果完全可信
C. 说明均值一定不相等
D. 说明数据不是正态分布
箱线图中，箱子的长度（上四分位数 - 下四分位数）反映了数据的：
A. 集中趋势
B. 离散程度（变异程度）
C. 对称性
D. 样本量

二、判断题（每题1分，共14题，14分）

假设检验中，我们总是试图去“推翻”原假设 $H_0$。（）
总离差平方和 $SST$ 反映了全部数据偏离总均值的程度。（）
如果两个变量相关系数 $r=0.9$，我们可以断定是A导致了B的变化。（）
样本量越大，样本均值的标准误差（Standard Error）越小。（）
在双因素方差分析中，如果存在交互作用，意味着一个因素对结果的影响依赖于另一个因素的水平。（）
P值越小，说明反对原假设的证据越强。（）
正态分布一定是关于均值对称的。（）
在SPSS中，“描述性统计”主要用于推断总体特征，而不是展示样本特征。（）
统计量是根据样本算出来的，它是一个随机变量；总体参数是固定的常数。（）
左侧检验的拒绝域在分布曲线的右尾。（）
$F$ 分布是对称分布，可以取负值。（）
问卷调查虽然是人去做的，但因为它只是记录现状没有干预，所以属于观察法。（）
方差分析表中的 $Sig.$ 其实就是 P值。（）
自由度 ($df$) 通常与样本量 $n$ 和组数 $k$ 有关。（）

三、计算题（重点：填表）（共34分）

题目1：单因素方差分析表填空（18分）

某教授想比较3种不同的教学方法（A、B、C）对学生成绩的影响。他共选取了15名学生，每种方法分配5人。
部分计算结果已经填入下表，请利用公式关系补全表格中 (1) 到 (6) 的数值。
(提示：$SST = SSA + SSE$；$F = MSA/MSE$)

变差来源	平方和 (SS)	自由度 (df)	均方 (MS)	F
组间 (因素)	240	(1) ______	(3) ______	(5) ______
组内 (误差)	(2) ______	12	10
总计	360	(6) ______

思考题（2分）：
已知 $F_{0.05}(2, 12) = 3.89$。根据你算出的F值（填空5），你的结论是：__________（填“显著”或“不显著”）。

题目2：双因素方差分析表填空（无交互作用）（16分）

研究“品牌”（3个品牌）和“地区”（4个地区）对销量的影响。数据如下表。请补全 (1) 到 (5)。

变差来源	平方和 (SS)	自由度 (df)	均方 (MS)	F
行因素 (品牌)	400	(1) ______	200	(4) ______
列因素 (地区)	(2) ______	3	100	(5) ______
误差	300	6	(3) ______
总计	1000	11

四、材料分析解释题（中文版SPSS）（共25分）

背景：某银行想知道“客户等级”（普通卡/金卡/白金卡）对“年度信用卡消费金额”（万元）是否有显著影响。
以下是SPSS输出的中文结果表格：

表1：描述性统计

客户等级	N	均值	标准差	标准误差
普通卡	20	2.50	0.80	0.18
金卡	20	5.60	1.10	0.25
白金卡	20	12.80	2.50	0.56
总计	60	6.97	4.50	0.58

表2：方差齐性检验

Levene 统计量	df1	df2	显著性 (Sig.)
1.842	2	57	0.168

表3：ANOVA (方差分析)

	平方和	df	均方	F	显著性
组间	1020.5	2	510.25	150.3	0.000
组内	193.5	57	3.39
总计	1214.0	59

请回答下列问题：

数据类型（4分）：
- 自变量（因素）是：__________，属于______数据（填数值型或分类）。
- 因变量（观测值）是：__________，属于______数据。
假设设立（4分）：
- 请用文字或符号写出原假设 $H_0$：__________。
- 请用文字或符号写出备择假设 $H_1$：__________。
方差齐性判断（5分）：
- 查看表2，显著性(Sig.) = 0.168。
- 这意味着各组的方差是相等的吗？（是/否）
- 理由是：因为 P值 (0.168) _____ 0.05（填大于或小于），所以我们______原假设（填拒绝或不拒绝）。这对后续ANOVA分析是_____（填有利或不利）的。
统计结论（6分）：
- 查看表3，显著性(Sig.) = 0.000。
- 因为 P值 < 0.05，所以我们决定：__________（拒绝/接受）原假设。
- 结论：不同等级的客户，其年度信用卡消费金额__________（填“有”或“没有”）显著差异。
业务洞察（6分）：
- 结合**表1（描述性统计）**的均值数据，哪种卡的客户消费能力最强？
- 如果你是银行经理，根据这个分析结果，你会重点把促销资源投放在哪个群体？为什么？

🛑 做完后再看答案解析 🛑

.
.
.
.
.
.

模拟卷二参考答案与解析

一、单项选择题

B
- 解析：题目是“低于”($<$)，没等号，放入$H_1$。所以$H_1: \pi < 0.02$。剩下的$H_0: \pi \ge 0.02$。
A
- 解析：公式 $F = MSA / MSE$。
C
- 解析：老师强调点。标准误差 = $S / \sqrt{n}$。
C
- 解析：两个分类变量（性别、学历）影响一个数值变量（工资）。
B
- 解析：中文SPSS的“显著性”就是P值 (Sig)。
B
- 解析：$P < 0.05$ 拒绝独立的原假设 $\rightarrow$ 有关联。
A
- 解析：弃真。本来没区别（$H_0$真），你说有区别（拒了）。
B
- 解析：大一到大四是有顺序的分类数据。
C
- 解析：组数 $k=4$，组间 $df = 4-1=3$。总人数 $n=40$，组内 $df = 40-4=36$。
B
- 解析：中心极限定理是关于样本均值分布的。
D
- 解析：属性多=高维度。
B
- 解析：$r=0$ 只能说明无线性关系，可能有曲线关系。
B
- 解析：$\alpha$ 就是犯第一类错误的概率。想降低它，就调小 $\alpha$。
C
- 解析：老师上课原话。
C
- 解析：实验法有人为控制/干预。
B
- 解析：$0.08 > 0.05$，不显著，不拒绝。
A
- 解析：方差分析前提是方差齐性。如果不齐，标准方法结果不可靠。
B
- 解析：箱子越长，中间50%的数据越分散。

二、判断题

T (反证法思维)
T
F (相关 $\ne$ 因果)
T (分母 $\sqrt{n}$ 变大，误差变小)
T (交互作用定义)
T (P越小越显著)
T
F (描述统计是展示样本，推断统计才是推断总体)
T (P82页概念)
F (左侧检验拒绝域在左尾)
F (F值是平方和的比值，永远非负)
T (老师强调的坑点)
T
T

三、计算题（填表解析）

题目1：单因素方差分析

逻辑链：
- 自由度：
  - $n=15, k=3$。
  - (1) 组间 $df = k-1 = 3-1 = \mathbf{2}$。
  - (6) 总 $df = n-1 = 15-1 = \mathbf{14}$。(也可以通过 $2+12=14$ 验证)。
- 平方和：
  - (2) $SSE = MS_{error} \times df_{error} = 10 \times 12 = \mathbf{120}$。
  - 或者用 $SST - SSA = 360 - 240 = 120$。
- 均方：
  - (3) $MSA = SSA / df_{between} = 240 / 2 = \mathbf{120}$。
- F值：
  - (5) $F = MSA / MSE = 120 / 10 = \mathbf{12}$。
思考题结论：
- $12 > 3.89$，所以是显著。

题目2：双因素方差分析

逻辑链：
- 自由度：
  - (1) 行因素(品牌)：$MSA = SSA / df$ $\rightarrow$ $200 = 400 / df$ $\rightarrow$ $df = \mathbf{2}$。
- 平方和：
  - (2) 列因素(地区)：$SSA_{col} = MS \times df = 100 \times 3 = \mathbf{300}$。
- 均方(误差)：
  - (3) $MSE = SSE / df_{error} = 300 / 6 = \mathbf{50}$。
- F值：
  - (4) 行F值 = $MS_{row} / MSE = 200 / 50 = \mathbf{4}$。
  - (5) 列F值 = $MS_{col} / MSE = 100 / 50 = \mathbf{2}$。

四、材料分析解释题

数据类型：
- 客户等级，分类数据。
- 消费金额，数值型数据。
假设：
- $H_0$: $\mu_{普通} = \mu_{金卡} = \mu_{白金}$ （三种卡均值相等）。
- $H_1$: 三种卡的均值不全相等。
方差齐性：
- 是（相等）。
- 理由：P值 (0.168) 大于 0.05，所以我们 不拒绝 原假设。这对分析是有利的（满足了前提条件）。
统计结论：
- 拒绝原假设。
- 有显著差异。
业务洞察：
- 白金卡最强（均值12.80万 >> 5.60 >> 2.50）。
- 建议：重点投放白金卡客户。因为这部分客户虽然人数一样多，但人均贡献的消费额远超其他群体，ROI（投资回报率）可能更高；或者针对金卡客户进行升级营销。